<Dl> <Dd> a = d 2 ⁡ r d ⁡ t 2 = d d ⁡ t d ⁡ r d ⁡ t = d d ⁡ t ((d ⁡ r d ⁡ t) + ω × r) = (d 2 ⁡ r d ⁡ t 2) + ω × (d ⁡ r d ⁡ t) + d ⁡ ω d ⁡ t × r + ω × d ⁡ r d ⁡ t = (d 2 ⁡ r d ⁡ t 2) + ω × (d ⁡ r d ⁡ t) + d ⁡ ω d ⁡ t × r + ω × ((d ⁡ r d ⁡ t) + ω × r) = (d 2 ⁡ r d ⁡ t 2) + d ⁡ ω d ⁡ t × r + 2 ω × (d ⁡ r d ⁡ t) + ω × (ω × r). (\ displaystyle (\ begin (aligned) (\ boldsymbol (a)) & = (\ frac (\ operatorname (d) ^ (2) (\ boldsymbol (r))) (\ operatorname (d) t ^ (2))) = (\ frac (\ operatorname (d)) (\ operatorname (d) t)) (\ frac (\ operatorname (d) (\ boldsymbol (r))) (\ operatorname (d) t)) = (\ frac (\ operatorname (d)) (\ operatorname (d) t)) \ left (\ left ((\ frac (\ operatorname (d) (\ boldsymbol (r))) (\ operatorname (d) t)) \ right) + (\ boldsymbol (\ omega)) \ times (\ boldsymbol (r)) \ \ right) \ \ & = \ left ((\ frac (\ operatorname (d) ^ (2) (\ boldsymbol (r))) (\ operatorname (d) t ^ (2))) \ right) + (\ boldsymbol (\ omega)) \ times \ left ((\ frac (\ operatorname (d) (\ boldsymbol (r))) (\ operatorname (d) t)) \ right) + (\ frac (\ operatorname (d) (\ boldsymbol (\ omega))) (\ operatorname (d) t)) \ times (\ boldsymbol (r)) + (\ boldsymbol (\ omega)) \ times (\ frac (\ operatorname (d) (\ boldsymbol (r))) (\ operatorname (d) t)) \ \ & = \ left ((\ frac (\ operatorname (d) ^ (2) (\ boldsymbol (r))) (\ operatorname (d) t ^ (2))) \ right) + (\ boldsymbol (\ omega)) \ times \ left ((\ frac (\ operatorname (d) (\ boldsymbol (r))) (\ operatorname (d) t)) \ right) + (\ frac (\ operatorname (d) (\ boldsymbol (\ omega))) (\ operatorname (d) t)) \ times (\ boldsymbol (r)) + (\ boldsymbol (\ omega)) \ times \ left (\ left ((\ frac (\ operatorname (d) (\ boldsymbol (r))) (\ operatorname (d) t)) \ right) + (\ boldsymbol (\ omega)) \ times (\ boldsymbol (r)) \ \ right) \ \ & = \ left ((\ frac (\ operatorname (d) ^ (2) (\ boldsymbol (r))) (\ operatorname (d) t ^ (2))) \ right) + (\ frac (\ operatorname (d) (\ boldsymbol (\ omega))) (\ operatorname (d) t)) \ times (\ boldsymbol (r)) + 2 (\ boldsymbol (\ omega)) \ times \ left ((\ frac (\ operatorname (d) (\ boldsymbol (r))) (\ operatorname (d) t)) \ right) + (\ boldsymbol (\ omega)) \ times ((\ boldsymbol (\ omega)) \ times (\ boldsymbol (r))) \ . \ end (aligned))) </Dd> </Dl> <Dd> a = d 2 ⁡ r d ⁡ t 2 = d d ⁡ t d ⁡ r d ⁡ t = d d ⁡ t ((d ⁡ r d ⁡ t) + ω × r) = (d 2 ⁡ r d ⁡ t 2) + ω × (d ⁡ r d ⁡ t) + d ⁡ ω d ⁡ t × r + ω × d ⁡ r d ⁡ t = (d 2 ⁡ r d ⁡ t 2) + ω × (d ⁡ r d ⁡ t) + d ⁡ ω d ⁡ t × r + ω × ((d ⁡ r d ⁡ t) + ω × r) = (d 2 ⁡ r d ⁡ t 2) + d ⁡ ω d ⁡ t × r + 2 ω × (d ⁡ r d ⁡ t) + ω × (ω × r). (\ displaystyle (\ begin (aligned) (\ boldsymbol (a)) & = (\ frac (\ operatorname (d) ^ (2) (\ boldsymbol (r))) (\ operatorname (d) t ^ (2))) = (\ frac (\ operatorname (d)) (\ operatorname (d) t)) (\ frac (\ operatorname (d) (\ boldsymbol (r))) (\ operatorname (d) t)) = (\ frac (\ operatorname (d)) (\ operatorname (d) t)) \ left (\ left ((\ frac (\ operatorname (d) (\ boldsymbol (r))) (\ operatorname (d) t)) \ right) + (\ boldsymbol (\ omega)) \ times (\ boldsymbol (r)) \ \ right) \ \ & = \ left ((\ frac (\ operatorname (d) ^ (2) (\ boldsymbol (r))) (\ operatorname (d) t ^ (2))) \ right) + (\ boldsymbol (\ omega)) \ times \ left ((\ frac (\ operatorname (d) (\ boldsymbol (r))) (\ operatorname (d) t)) \ right) + (\ frac (\ operatorname (d) (\ boldsymbol (\ omega))) (\ operatorname (d) t)) \ times (\ boldsymbol (r)) + (\ boldsymbol (\ omega)) \ times (\ frac (\ operatorname (d) (\ boldsymbol (r))) (\ operatorname (d) t)) \ \ & = \ left ((\ frac (\ operatorname (d) ^ (2) (\ boldsymbol (r))) (\ operatorname (d) t ^ (2))) \ right) + (\ boldsymbol (\ omega)) \ times \ left ((\ frac (\ operatorname (d) (\ boldsymbol (r))) (\ operatorname (d) t)) \ right) + (\ frac (\ operatorname (d) (\ boldsymbol (\ omega))) (\ operatorname (d) t)) \ times (\ boldsymbol (r)) + (\ boldsymbol (\ omega)) \ times \ left (\ left ((\ frac (\ operatorname (d) (\ boldsymbol (r))) (\ operatorname (d) t)) \ right) + (\ boldsymbol (\ omega)) \ times (\ boldsymbol (r)) \ \ right) \ \ & = \ left ((\ frac (\ operatorname (d) ^ (2) (\ boldsymbol (r))) (\ operatorname (d) t ^ (2))) \ right) + (\ frac (\ operatorname (d) (\ boldsymbol (\ omega))) (\ operatorname (d) t)) \ times (\ boldsymbol (r)) + 2 (\ boldsymbol (\ omega)) \ times \ left ((\ frac (\ operatorname (d) (\ boldsymbol (r))) (\ operatorname (d) t)) \ right) + (\ boldsymbol (\ omega)) \ times ((\ boldsymbol (\ omega)) \ times (\ boldsymbol (r))) \ . \ end (aligned))) </Dd> <P> The apparent acceleration in the rotating frame is (d r / dt). An observer unaware of the rotation would expect this to be zero in the absence of outside forces . However, Newton's laws of motion apply only in the inertial frame and describe dynamics in terms of the absolute acceleration d r / dt . Therefore, the observer perceives the extra terms as contributions due to fictitious forces . These terms in the apparent acceleration are independent of mass; so it appears that each of these fictitious forces, like gravity, pulls on an object in proportion to its mass . When these forces are added, the equation of motion has the form: </P> <Dl> <Dd> F − m d ⁡ ω d ⁡ t × r − 2 m ω × (d ⁡ r d ⁡ t) − m ω × (ω × r) (\ displaystyle (\ boldsymbol (F)) - m (\ frac (\ operatorname (d) (\ boldsymbol (\ omega))) (\ operatorname (d) t)) \ times (\ boldsymbol (r)) - 2m (\ boldsymbol (\ omega)) \ times \ left ((\ frac (\ operatorname (d) (\ boldsymbol (r))) (\ operatorname (d) t)) \ right) - m (\ boldsymbol (\ omega)) \ times ((\ boldsymbol (\ omega)) \ times (\ boldsymbol (r)))) = m (d 2 ⁡ r d ⁡ t 2). (\ displaystyle = m \ left ((\ frac (\ operatorname (d) ^ (2) (\ boldsymbol (r))) (\ operatorname (d) t ^ (2))) \ right) \ .) </Dd> </Dl>

What is the force that pulls on objects and causes acceleration
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