<P> An easy way to derive these is by parameter differentiation . </P> <Dl> <Dd> ∫ − ∞ ∞ x 2 n e − α x 2 d x = (− 1) n ∫ − ∞ ∞ ∂ n ∂ α n e − α x 2 d x = (− 1) n ∂ n ∂ α n ∫ − ∞ ∞ e − α x 2 d x = π (− 1) n ∂ n ∂ α n α − 1 2 = π α (2 n − 1)!! (2 α) n (\ displaystyle (\ begin (aligned) \ int _ (- \ infty) ^ (\ infty) x ^ (2n) e ^ (- \ alpha x ^ (2)) \, dx& = \ left (- 1 \ right) ^ (n) \ int _ (- \ infty) ^ (\ infty) (\ frac (\ partial ^ (n)) (\ partial \ alpha ^ (n))) e ^ (- \ alpha x ^ (2)) \, dx ~ = \ left (- 1 \ right) ^ (n) (\ frac (\ partial ^ (n)) (\ partial \ alpha ^ (n))) \ int _ (- \ infty) ^ (\ infty) e ^ (- \ alpha x ^ (2)) \, dx \ \ & = (\ sqrt (\ pi)) \ left (- 1 \ right) ^ (n) (\ frac (\ partial ^ (n)) (\ partial \ alpha ^ (n))) \ alpha ^ (- (\ frac (1) (2))) ~ = (\ sqrt (\ frac (\ pi) (\ alpha))) (\ frac ((2n - 1)!!) (\ left (2 \ alpha \ right) ^ (n))) \ end (aligned))) </Dd> </Dl> <Dd> ∫ − ∞ ∞ x 2 n e − α x 2 d x = (− 1) n ∫ − ∞ ∞ ∂ n ∂ α n e − α x 2 d x = (− 1) n ∂ n ∂ α n ∫ − ∞ ∞ e − α x 2 d x = π (− 1) n ∂ n ∂ α n α − 1 2 = π α (2 n − 1)!! (2 α) n (\ displaystyle (\ begin (aligned) \ int _ (- \ infty) ^ (\ infty) x ^ (2n) e ^ (- \ alpha x ^ (2)) \, dx& = \ left (- 1 \ right) ^ (n) \ int _ (- \ infty) ^ (\ infty) (\ frac (\ partial ^ (n)) (\ partial \ alpha ^ (n))) e ^ (- \ alpha x ^ (2)) \, dx ~ = \ left (- 1 \ right) ^ (n) (\ frac (\ partial ^ (n)) (\ partial \ alpha ^ (n))) \ int _ (- \ infty) ^ (\ infty) e ^ (- \ alpha x ^ (2)) \, dx \ \ & = (\ sqrt (\ pi)) \ left (- 1 \ right) ^ (n) (\ frac (\ partial ^ (n)) (\ partial \ alpha ^ (n))) \ alpha ^ (- (\ frac (1) (2))) ~ = (\ sqrt (\ frac (\ pi) (\ alpha))) (\ frac ((2n - 1)!!) (\ left (2 \ alpha \ right) ^ (n))) \ end (aligned))) </Dd> <P> One could also integrate by parts and find a recurrence relation to solve this . </P>

Integral from negative infinity to infinity of e^-x^2